Dynamik der Mehrkörpersysteme

In der Lehrveranstaltung wird die Fähigkeit vermittelt, beliebige Mechanismen einschließlich der darin auftretenden physikalischen Effekte wie z.B. Elastizität, Dämpfung und Reibung mathematisch zu beschreiben und das Bewegungsverhalten solcher Systeme zu analysieren.

Die Lehrveranstaltung behandelt vornehmlich die linearen Schwingungen von Mehrkörpersystemen. Zur übersichtlichen und rechnergerechten Untersuchung der Systeme mit mehreren Freiheitsgraden wird die Matrizenrechnung benutzt. Das in der Vorlesung vermittelte systematische Vorgehen hat den Vorteil, dass es auf nahezu jedes technische System angewendet werden kann und sich in geeigneten Programmen mit wenigen Anweisungen durchführen lässt.


Erstellen von Modellen für technische Systeme

Insbesondere bei mechatronischen Systemen werden häufig Schwingungsmodelle von mechanischen Systemen benötigt; z.B. um Regler für aktive Fahrwerkssysteme aufbauen zu können. In der Vorlesung Schwingungstechnik wird vermittelt, wie für reale Systeme Mehrkörpermodelle erstellt werden können, die so einfach wie möglich sind und dennoch alle wesentlichen Effekte berücksichtigen.
Daran anschließend wird ein effizientes Verfahren zur Ermittlung der ebenen und räumlichen Kinematik des allgemein bewegten Mehrkörpersystems und zum Aufstellen der Bewegungsgleichungen mit Hilfe der Lagrangeschen Gleichungen zweiter Art oder mit den Newton-Euler-Gleichungen vorgestellt. Die Bewegungsgleichungen zweiter Ordnung können auf äquivalente Zustandsgleichungen erster Ordnung transformiert werden.


Analyse technischer Systeme

Die Bewegungs- bzw. Zustandsgleichungen sind ein mathematisches Modell des betrachteten Systems und im Umgang mit dynamischen Systemen häufig ein wertvolles Werkzeug zur Erlangung gesicherter Aussagen über Parametereinflüsse und zur gezielten Parameteroptimierung. In Schwingungstechnik wird vermittelt, wie die Bewegungs- bzw. Zustandsgleichung für die Analyse der Mehrkörpersysteme mit Hilfe der Matrizenrechnung gelöst werden können.


Freie Schwingungen

Für die Analyse des Eigenverhaltens werden z.B. die Eigenwerte und Eigenvektoren berechnet. Sie ermöglichen Aussagen über die Schwingungsamplituden und -frequenzen sowie über das Abklingverhalten freier Schwingungen. Außerdem sind Stabilitätsaussagen anhand einfacher Eigenwert-Stabilitätskriterien möglich. In Schwingungstechnik wird gezeigt, wie die notwendigen Berechnungen von Hand oder mit Hilfe von Rechnerprogrammen durchgeführt werden können.


Erzwungene Schwingungen

Technische Systeme führen häufig erzwungene Schwingungen aus. Es wird gezeigt, wie die inhomogene Bewegungs- bzw. Zustandsgleichung für spezielle Erregerfunktionen gelöst werden kann. Beim Betrieb technischer Systeme treten z.B. durch Unwuchtkräfte oder durch die Aufprägung wellenförmiger Bewegungen periodische Anregungen auf. In solchen Fällen müssen kritische Anregungsfrequenzen oder Antriebsdrehzahlen berechnet werden und das frequenzabhängige Systemverhalten berechnet werden. Eine weitere spezielle Erregerfunktion ist die Sprungfunktion, z.B. in Form einer überfahrenen Bordsteinkante. Die Schwingungsantwort auf derartige Impulsfunktionen werden häufig zum Vergleich und zur Bewertung von Schwingungssystemen herangezogen und können für die Zustandsgleichung auf elegante Weise berechnet werden.

Mit den zuvor vorgestellten speziellen Lösungsverfahren kann bereits ein sehr großer Bereich der praxisrelevanten Bewegungsanalyse durch die geschlossene Lösung der Bewegungs- und Zustandsgleichung abgedeckt werden. Für eine allgemeine Form der Anregung ist jedoch die Berechnung der allgemeinen Lösungsgleichung der inhomogenen Zustandsgleichung notwendig. Dies ist häufig nur numerisch möglich oder sinnvoll. Daher wird auf die numerischen Aspekte der Lösung der Zustandsgleichung mit Hilfe der Fundamentalmatrix eingegangen.

 

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